Dengancara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-ndengan menggunakan rumus Un Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58. b. Barisan Geometri. Samaseperti penentuan suku barisan, cara menentukan banyak suku juga tergantung pada kondisi yang diberikan dalam soal. Kondisi yang umum antaralain menentukan jumlah suku jika suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir diketahui. Misalnya jika suku terakhir barisan aritmatika adalah suku ke-20, maka banyak suku dalam barisan tersebut Diketahuibarisan aritmetika mempunyai suku ke-2 bernilai 4 dan suku ke-8 bernilai 22. Suku ke-15 barisan tersebut adalahA. 43 B. 40 C. 37 D. 34 . E. 31. Pembahasan / penyelesaian soal. Untuk menjawab soal ini kita harus menentukan terlebih dahulu suku ke-1 atau a dan beda [b] dengan cara sebagai berikut: U. n = a + [n - 1]b; U. 2 = a + [2 cash. Artikel Matematika kelas 8 ini membahas mengenai barisan aritmatika bertingkat, meliputi rumus dan beberapa contoh soal untuk meningkatkan pemahamanmu. — Halo, teman-teman! Di artikel sebelumnya, kamu sudah belajar mengenai pengertian serta rumus barisan dan deret aritmatika, ya. Hayoo, ada yang masih ingat, apa bedanya barisan dengan deret aritmatika? Yaps! Betul banget! Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda selisih yang tetap di antara suku-sukunya yang saling berdekatan, sedangkan deret aritmatika adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan aritmatika. Nah, di materi barisan aritmatika yang sudah kamu pelajari sebelumnya, nilai beda yang tetap antara dua suku yang saling berurutan, bisa langsung kamu temukan. Contohnya, seperti gambar di atas, nih. Kita bisa langsung tahu kalau barisan aritmatika tersebut memiliki nilai beda tetap, yaitu 3. Lalu, gimana nih kalau kamu menemukan soal barisan aritmatika yang nilai bedanya nggak tetap, alias nggak sama? Contohnya, kayak barisan aritmatika di bawah ini. 1, 5, 12, 22, 35, … Nah, kalau kamu perhatikan, pada barisan aritmatika tersebut, beda antara suku pertama U1 dengan suku ke-2 U2 adalah 4. Tapi, beda antara suku ke-2 U2 dengan suku ke-3 U3 adalah 7. Begitupun dengan beda antara dua suku-suku berikutnya yang ternyata nggak sama. Tandanya, nilai beda tetapnya belum langsung bisa kita temukan pada barisan tersebut. Tapi, coba kamu perhatikan hasil dari selisih suku-suku yang saling berdekatannya, deh. Kalau kita anggap selisih suku-suku itu sebagai barisan baru, lalu kita cari kembali nilai bedanya, ternyata suku-suku baru tersebut memiliki nilai beda yang sama atau tetap, ya, yaitu 3 lihat gambar di bawah. Baca Juga Cara Mencari Rumus Pola Bilangan berdasarkan Jenis-Jenis dan Contohnya Nah, jika barisan pertama kita anggap sebagai barisan tingkat satu, lalu suku-suku baru yang merupakan hasil selisih barisan sebelumnya kita anggap sebagai barisan tingkat dua, maka, artinya, nilai beda tetap dari barisan aritmatika tersebut baru bisa kita temukan di tingkat keduanya, ya. Pengertian Barisan Aritmatika Bertingkat Nah, barisan aritmatika yang nilai beda tetapnya nggak langsung ditemukan di tingkat pertamanya, sehingga kita harus mencari beda selisih yang bernilai tetap di tingkat-tingkat berikutnya, bisa kita sebut dengan barisan aritmatika bertingkat. Kalau nilai beda tetapnya langsung bisa ditemukan di barisan tingkat pertamanya, kita bisa menyebutnya dengan barisan aritmatika bertingkat satu. Kalau nilai beda tetapnya ditemukan di barisan tingkat keduanya, kita bisa sebut dengan barisan aritmatika bertingkat dua. Kalau nilai beda tetapnya ditemukan di barisan tingkat ketiganya, kita bisa sebut dengan barisan aritmatika bertingkat tiga, begitupun seterusnya. Jadi, tingkatan pada barisan aritmatika bertingkat itu sebenarnya banyak sekali, ya. Bisa sampai bertingkat lima, enam, tujuh, dan seterusnya. Tapi, kamu nggak perlu khawatir nih, untuk materi barisan aritmatika bertingkat yang ada di SMP ini, biasanya, hanya sampai di tingkatan ke-2 atau ke-3 saja, ya. Paham ya dengan konsep barisan aritmatika bertingkat? Lalu, gimana sih cara mencari suku ke-n Un pada barisan aritmatika bertingkat itu? Baca Juga Belajar Konsep Sistem Koordinat Kartesius dan Cara Membuat Grafiknya, Yuk! Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat Dua Untuk mencari Un pada barisan aritmatika bertingkat satu, rumusnya sama saja ya dengan rumus barisan aritmatika yang sudah kamu pelajari sebelumnya, yaitu Un = a + n-1b. Nah, untuk mencari Un pada barisan aritmatika bertingkat dua dan tiga, kamu bisa menggunakan rumus di bawah ini, nih. Sekarang, coba kita cari pola barisan bertingkat duanya ya dari rumus tersebut. Kalau kita masukkan n = 1 ke dalam Un = an2 + bn + c, maka diperoleh suku pertama, yaituUn = an2 + bn + cU1 = a12 + b1 +cU1 = a + b + c Kalau kita masukkan n = 2 ke dalam Un = an2 + bn + c, maka diperoleh suku kedua, yaituUn = an2 + bn + cU2 = a22 + b2 +cU2 = 4a + 2b + c Kalau kita masukkan n = 3 ke dalam Un = an2 + bn + c, maka diperoleh suku ketiga, yaituUn = an2 + bn + cU3 = a32 + b3 +cU3 = 9a + 3b + c Kalau kita masukkan n = 4 ke dalam Un = an2 + bn + c, maka diperoleh suku keempat, yaituUn = an2 + bn + cU4 = a42 + b4 +cU4 = 16a + 4b + c Sehingga, akan diperoleh barisan aritmatika sebagai berikut Kemudian, kalau kita cari beda selisih dari suku-suku tersebut, maka diperoleh Beda suku pertama U1 dengan suku kedua U2 b = U2 – U1 = 4a + 2b + c – a + b + c b = 4a – a + 2b – b + c – c b = 3a + b Beda suku kedua U2 dengan suku ketiga U3 b = U3 – U2 = 9a + 3b + c – 4a + 2b + c b = 9a – 4a + 3b – 2b + c – c b = 5a + b Beda suku ketiga U3 dengan suku keempat U4 b = U4 – U3 = 16a + 4b + c – 9a + 3b + c b = 16a – 9a + 4b – 3b + c – c b = 7a + b Sehingga, beda antara suku-suku yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah gambar 1 Nah, karena kita mencari pola barisan aritmatika bertingkat dua menggunakan rumus barisan aritmatika bertingkat dua, maka kamu bisa lihat ya kalau beda antara suku-suku tersebut belum tetap atau sama. Jadi, kita anggap 3a + b, 5a + b, dan 7a + b sebagai suku-suku baru di tingkat pertama. Lalu, kita cari lagi selisih antara suku-suku baru tersebut untuk mendapatkan beda yang tetap di tingkat kedua. Beda suku pertama di tingkat pertama U1* dengan suku kedua di tingkat pertama U2* b = U2* – U1* = 5a + b – 3a + b b = 5a – 3a + b – b = 2a Beda suku kedua di tingkat pertama U2* dengan suku ketiga di tingkat pertama U3* b = U3* – U2* = 7a + b – 5a + b b = 7a – 5a + b – b = 2a Sehingga, beda antara suku-suku baru di tingkat 1 yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah gambar 2 Nah, sekarang kamu bisa lihat nih, di tingkat kedua, kita sudah bisa mendapatkan beda yang tetap, yaitu 2a. Baca Juga Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Lalu, buat apa sih kita mencari pola barisan aritmatika bertingkat dua, seperti gambar di atas? Tujuannya itu, memudahkan kamu untuk mendapatkan nilai a, b, dan c yang terdapat pada rumus barisan aritmatika bertingkat dua Un = an2 + bn + c. Oke, supaya kamu semakin paham, kita masuk ke contoh soal, deh. Contoh Soal Barisan Aritmatika Bertingkat Dua Tentukan suku ke-7 dari barisan aritmatika bertingkat 5, 6, 9, 14, … Pembahasan Diketahui, U1 = 5, U2 = 6, U3 = 9, dan U4 = 14. Beda antara U1 dengan U2 b = U2 – U1 = 6 – 5 = 1 Beda antara U2 dengan U3 b = U3 – U2 = 9 – 6 = 3 Beda antara U3 dengan U4 b = U4 – U3 = 14 – 9 = 5 Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika sebagai berikut Kemudian, karena bedanya belum tetap sama, kita anggap 1, 3, dan 5 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan kita cari selisih antara suku-suku baru tersebut. Beda antara U1* dengan U2* b = U2* – U1* = 3 – 1 = 2 Beda antara U2* dengan U3* b = U3* – U2* = 5 – 3 = 2 Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika bertingkat dua sebagai berikut Nah, kamu masih ingat kan dengan rumus barisan aritmatika bertingkat dua? Yap! Betul! Un = an2 + bn + c. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, untuk mencari nilai a, b, dan c pada rumus tersebut, kita bisa gunakan pola barisan aritmatika bertingkat dua yang sudah kita cari di atas gambar 2. Kita samakan pola barisan aritmatika pada gambar 2 dengan pola barisan aritmatika yang sudah kita peroleh dari soal. Kalau kita lihat polanya, 2a nilainya sama dengan 2. Berarti, a + b + c nilainya sama dengan 5 dan 3a + b nilainya sama dengan 1. Sehingga, 2a = 2a = 1 3a + b = 131 + b = 1b = 1 – 3b = -2 a + b + c = 51 – 2 + c = 5c = 5 – 1 + 2c = 6 Setelah kita dapat nilai a, b, dan c, kita masukkan nilainya ke dalam rumus barisan aritmatika bertingkat dua Un = an2 + bn + c Un = n2 – 2n + 6 Kemudian, kita diminta mencari suku ke-7, berarti U7 dengan n = 7. Jadi, kita masukkan saja nilai n = 7 ke dalam rumus Un = n2 – 2n + 6. U7 = 72 – 27 + 6 = 49 – 14 + 6 = 41 Sampai sini paham ya, teman-teman? Kita lanjut ke rumus barisan aritmatika bertingkat tiga, ya. Baca Juga Cara Mencari Kemiringan Gradien pada Garis Lurus Rumus Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga Langkah-langkahnya sama nih dengan yang sudah kita kerjakan sebelumnya. Kita cari dulu pola barisan aritmatika bertingkat tiganya ya dari rumus di atas. Kalau kita masukkan n = 1 ke dalam Un = an3 + bn2 + cn + d, maka diperoleh suku pertama, yaituUn = an3 + bn2 + cn + dU1 = a13 + b12 + c1 + dU1 = a + b + c + d Kalau kita masukkan n = 2 ke dalam Un = an3 + bn2 + cn + d, maka diperoleh suku kedua, yaituUn = an3 + bn2 + cn + dU2 = a23 + b22 + c2 + dU2 = 8a + 4b + 2c + d Kalau kita masukkan n = 3 ke dalam Un = an3 + bn2 + cn + d, maka diperoleh suku ketiga, yaituUn = an3 + bn2 + cn + dU3 = a33 + b32 + c3 + dU3 = 27a + 9b + 3c + d Kalau kita masukkan n = 4 ke dalam Un = an3 + bn2 + cn + d, maka diperoleh suku keempat, yaituUn = an3 + bn2 + cn + dU4 = a43 + b42 + c4 + dU4 = 64a + 16b + 4c + d Kalau kita masukkan n = 5 ke dalam Un = an3 + bn2 + cn + d, maka diperoleh suku kelima, yaituUn = an3 + bn2 + cn + dU5 = a53 + b52 + c5 + dU5 = 125a + 25b + 5c + d Kemudian, kalau kita cari beda selisih dari suku-suku tersebut, maka diperoleh Beda suku pertama U1 dengan suku kedua U2 b = U2 – U1 = 8a + 4b + 2c + d – a + b + c + d b = 8a – a + 4b – b + 2c – c + d – d b = 7a + 3b + c Beda suku kedua U2 dengan suku ketiga U3 b = U3 – U2 = 27a + 9b + 3c + d – 8a + 4b + 2c + d b = 27a – 8a + 9b – 4b + 3c – 2c + d – d b = 19a + 5b + c Beda suku ketiga U3 dengan suku keempat U4 b = U4 – U3 = 64a + 16b + 4c + d – 27a + 9b + 3c + d b = 64a – 27a + 16b – 9b + 4c – 3c + d – d b = 37a + 7b + c Beda suku ketiga U4 dengan suku keempat U5 b = U5 – U4 = 125a + 25b + 5c + d – 64a + 16b + 4c + d b = 125a – 64a + 25b – 16b + 4c – 3c + d – d b = 61a + 9b + c Sehingga, beda antara suku-suku yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah gambar 3 Karena beda antara suku-sukunya belum sama, kita anggap 7a + 3b + c, 19a + 5b + c, 37a + 7b + c, dan 61a + 9b + c sebagai suku-suku baru di tingkat pertama. Lalu, kita cari lagi selisih antara suku-suku baru tersebut untuk mendapatkan beda yang tetap. Beda suku pertama di tingkat pertama U1* dengan suku kedua di tingkat pertama U2* b = U2* – U1* = 19a + 5b + c – 7a + 3b + c b = 19a – 7a + 5b – 3b + c – c b = 12a + 2b Beda suku kedua di tingkat pertama U2* dengan suku ketiga di tingkat pertama U3* b = U3* – U2* = 37a + 7b + c – 19a + 5b + c b = 37a – 19a + 7b – 5b + c – c b = 18a + 2b Beda suku kedua di tingkat pertama U3* dengan suku ketiga di tingkat pertama U4* b = U4* – U3* = 71a + 9b + c – 37a + 7b + c b = 61a – 37a + 9b – 7b + c – c b = 24a + 2b Sehingga, beda antara suku-suku baru di tingkat 1 yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah gambar 4 Baca Juga Yuk, Kita Belajar Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus! Kita masih belum menemukan nilai beda yang tetap nih, oleh karena itu, kita anggap 12a + 2b, 18a + 2b, dan 24a + 2b sebagai suku-suku baru di tingkat kedua. Lalu, kita cari lagi selisih suku-suku baru tersebut agar mendapat nilai beda yang tetap. Beda suku pertama di tingkat pertama U1** dengan suku kedua di tingkat pertama U2** b = U2** – U1** = 18a + 2b – 12a + 2b b = 18a – 12a + 2b – 2b b = 6a Beda suku kedua di tingkat pertama U2** dengan suku ketiga di tingkat pertama U3** b = U3** – U2** = 24a + 2b – 18a + 2b b = 24a – 18a + 2b – 2b b = 6a Sehingga, beda antara suku-suku baru di tingkat 2 yang saling berdekatan pada barisan aritmatika tersebut adalah gambar 5 Sekarang, kamu bisa lihat kan, di tingkat kedua, kita sudah bisa mendapatkan beda yang tetap, yaitu 6a. Sama seperti pola pada barisan aritmatika bertingkat dua, pola barisan aritmatika bertingkat tiga tersebut akan membantu kita untuk mencari nilai a, b, c, dan d pada rumus barisan aritmatika bertingkat tiga Un = an3 + bn2 + cn + d. Oke, seperti biasa, supaya kamu nggak bingung, yuk kita kerjakan soal di bawah ini sama-sama, ya! Contoh Soal Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika bertingkat 1, 3, 11, 31, 69, … Pembahasan Diketahui, U1 = 1, U2 = 3, U3 = 11, U4 = 31, dan U5 = 69. Beda antara U1 dengan U2 b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2 Beda antara U2 dengan U3 b = U3 – U2 = 11 – 3 = 8 Beda antara U3 dengan U4 b = U4 – U3 = 31 – 11 = 20 Beda antara U4 dengan U5 b = U5 – U4 = 69 – 31 = 38 Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika sebagai berikut Kemudian, karena bedanya belum tetap sama, kita anggap 2, 8, 20, dan 38 sebagai suku-suku baru di tingkat pertama, dan kita cari selisih antara suku-suku baru tersebut. Beda antara U1* dengan U2* b = U2* – U1* = 8 – 2 = 6 Beda antara U2* dengan U3* b = U3* – U2* = 20 – 8 = 12 Beda antara U3* dengan U4* b = U4* – U3* = 38 – 20 = 18 Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika bertingkat dua sebagai berikut Baca Juga Pengertian Relasi dan Fungsi serta Cara Menyatakannya Nilai bedanya belum sama, kita anggap lagi 6, 12, dan 18 sebagai suku-suku baru di tingkat kedua, dan kita cari selisihnya kembali. Beda antara U1** dengan U2** b = U2** – U1** = 12 – 6 = 6 Beda antara U2** dengan U3** b = U3** – U2** = 18 – 12 = 6 Sehingga, diperoleh pola barisan aritmatika bertingkat tiga sebagai berikut Rumus barisan aritmatika bertingkat tiga, yaitu Un = an3 + bn2 + cn + d. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, untuk mencari nilai a, b, c, dan d pada rumus tersebut, kita bisa gunakan pola barisan aritmatika bertingkat tiga yang sudah kita cari di atas gambar 5. Selanjutnya, kita samakan pola barisan aritmatika pada gambar 5 dengan pola barisan aritmatika yang sudah kita peroleh dari soal. Kalau kita lihat polanya, 6a nilainya sama dengan 6. Berarti, a + b + c nilainya sama dengan 1, 7a + 3b + c nilainya sama dengan 2, dan 12a + 2b nilainya sama dengan 6. Sehingga, 6a = 6a = 1 12a + 2b = 6121 + 2b = 62b = 6 – 122b = -6b = -6/2b = -3 7a + 3b + c = 271 + 3-3 + c = 27 – 9 + c = 2c = 2 – 7 + 9c = 4 a + b + c + d = 11 – 3 + 4 + d = 12 + d = 1d = 1 – 2d = -1 Setelah kita dapat nilai a, b, c, dan d, kita masukkan nilainya ke dalam rumus barisan aritmatika bertingkat tiga Un = an3 + bn2 + cn + d Un = n3 – 3n2 + 4n – 1 Kemudian, kita diminta mencari suku ke-10, berarti U10 dengan n = 10. Jadi, kita masukkan saja nilai n = 10 ke dalam rumus Un = n3 – 3n2 + 4n – 1. U10 = 103 – 3102 + 410 – 1 U10 = 1000 – 300 + 40 – 1 = 739 Baca Juga Mengenal Statistika dan Diagram Penyajian Data, Kuy! Oke, selesai sudah materi kita kali ini, ya. Wah, untuk materi barisan aritmatika bertingkat ini, sepintas memang cukup sulit, ya. Rumus untuk mencari suku barisan bertingkat juga berbeda pada tiap tingkatannya. Tapi, kamu bisa menaklukkan materi ini dengan banyak berlatih soal, lho. Download aja aplikasi Ruangguru dan asah kemampuanmu dengan berlatih berbagai macam tipe soal di ruangbelajar! Referensi As’ari AR, Tohir M, dkk. 2017 Matematika Kelas VIII SMP/MTs. Edisi Revisi. Jakarta Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Artikel diperbarui pada 12 Oktober 2022. Barisan deret aritmatika geometri, Hmmm…Apa yang ada dalam pikiran teman-teman semua jika mendengar istilah barisan dan deret? Lalu apa juga yang langsung teman-teman pikirkan saat dengar aritmatika dan geometri?Kalau saya pribadi;Ketika dengar barisan saya langsung ingat koma ,.Ketika dengar deret saya langsung ingat tambah +.Ketika dengar aritmatika saya langsung ingat beda b.Ketika dengar geometri saya langsung ingat rasio r atau bagaimana dengan teman-teman? Apakah sudah terbayang?Jika belum, 4 poin yang sudah kak Hinda tuliskan di atas itulah ciri utama atau kata kunci dari pembahasan barisan dan deret, baik itu aritmatika maupun poin itu kemudian menjadi pembahasan yang cukup panjang dilengkapi dengan rumus-rumus yang akan kita bahas lengkap dalam kesempatan kali yakin, ketika kalian sampai di artikel ini, berarti kalian sedang mencari tahu lebih banyak tentang barisan dan deret. Baik itu aritmatika yang ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss maupun geometri yang menurut beberapa sumber dikembangkan oleh Leonardo da Pisa.Entah itu ciri-cirinya, perbedaan barisan dan deret, rumusnya, atau bahkan hanya untuk tahu bagaimana contoh soal berikut penyelesaian juga yakin, sebelum membaca artikel ini, kalian semua sudah memiliki pengetahuan dasar tentang barisan dan deret. Atau paling tidak pernah tahu atau mendengar itu dari buku sekolah maupun sumber kita langsung saja ya!Materi lengkap rumus barisan aritmatika, deret aritmatika, barisan geometri, dan deret geometri + contoh soal dan jawabanKita akan bahas materinya satu-satu ya?1. Barisan AritmatikaPengertian barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan yang memiliki selisih yang tetap atau konstan antara dua suku yang berurutan. Misal suku pertama dengan kedua, ketiga dengan keempat, lebih mudah dipahami, kak Hinda akan menuliskan secara umum dan rumus suku ke-nBarisan aritmatika memiliki bentuk yang umum. Sebagaimana saya tuliskan di atas, ciri utamanya adalah koma. Setidaknya demikianlah cara saya memahami dengan mudah dan simpel tentang barisan aritmatika umuma, a + b, a + 2b, a + 3b, …. , a + n – 1bKeterangana adalah suku pertama dari barisan adalah beda atau pertama disebut juga dengan U1Suku kedua disebut U2Suku ketiga disebut U3…. dan seterusnya sampaiSuku ke-n disebut UnDengan kata lain, barisan aritmatika bisa dituliskan sebagai berikut;U1, U2, U3, U4, … , Un = a, a + b, a + 2b, a + 3b, …. , a + n – 1bDari sini kita bisa melihat bahwaRumus suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah Un = a + n – 1bKeteranganUn adalah rumus suku ke-n barisan adalah suku pertama barisan aritmatika atau bisa ditulis U1b adalah bedaRumus bedaDengan ulasan di atas, kita dapat melihat;U2 – U1 = a + b – a = bU3 – U2 = a + 2b – a + b = bU4 – U3 = a + 3b – a + 2b = b…Beda = Un – Un-1 = a + n-1b – [a + n-2b] = a + bn – b – a – bn + 2b = bDengan demikian,Rumus beda adalahb = Un – Un-1Penjabaran a = U1Un = a + n – 1 bU1 = a + 1 – 1 bU1 = a + = aSuku tengahDalam barisan aritmatika, kita juga mengenal suku tengah yang dilambangkan dengan itu suku tengah?Pengertian suku tengah ini merujuk pada sebuah barisan aritmatika yang n-nya ganjil. Atau dengan kata lain banyaknya barisan aritmatikanya dengan begitu akan ada satu suku yang berada tepat di tengah dan membagi barisan aritmatika menjadi dua bagian yang 5, 9, 13, 172, 4, 6, 8, 10, 12, 14Dari dua contoh barisan aritmatika di atas, terlihat bahwa 9 dan 8 merupakan suku kita lihat bersama, bilangan 9 dalam barisan aritmatika pertama merupakan setengah dari penjumlahan suku-suku yang ada di kanan juga bilangan 8 di barisan aritmatika = 5 + 13. ½ = 1 + 17 . ½8 = 6 + 10 . ½ = 4 + 12 . ½ = 2 + 14 . ½Perhatikan pula bahwa, suku tengahnya berada pada t = 3 dan t = dengan kata lain;Rumus t bisa dituliskan di bawah ini;t = n + 1 2Pada contoh pertama, kita punya n = 5, suku tengahnya adalah suku = 5 + 1 2 = 6 2 = 3Pada contoh kedua, kita punya n = 7, suku tengahnya adalah suku = 7 + 1 2 = 8 2 = 4Sedangkan rumus umum suku tengah sendiri adalah;Rumus suku tengah Ut = a + Un/2t = n + 1 / 2dengana adalah suku pertaman > 1 dan ganjilContoh soal dan pembahasanBerikut ini adalah beberapa contoh soal yang bisa kak Hinda rangkum agar pemahaman tentang barisan aritmatika ini menjadi lebih mudah;Contoh 1Diketahui sebuah barisan aritmatika adalah sebagai berikut1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-n barisan aritmatika tersebut!PembahasanSuku pertama = U1 = a = 1Beda b = U2 – U1 = 2 – 1 = 1Un = a + n – 1bUn = 1 + n – 1.1Un = 1 + n – 1Un = nJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika di atas adalah nDalam contoh ini, U1 atau a adalah 1 dan beda b dalam barisan aritmatika ini adalah 2Diketahui sebuah barisan aritmatika adalah sebagai berikut3, 7, 11, 15, …Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20!JawabanSuku pertama = U1 = a = 3Beda = U2 – U1 = 7 – 3 = 4Selanjutnya, untuk mencari suku ke-20 kita bisa memakai rumus suku ke-n;Un = a + n – 1 bU20 = 3 + 20 – 1. 4U20 = 3 + 19. 4U20 = 3 + 76U20 = 79Atau teman-teman bisa menghitung U20 dengan cara mencari rumus suku ke-n nya dulu seperti cara di bawah ini;Un = 3 + n – 1 4Un = 3 + 4n – 4Un = 4n – 1Kemudian baru masukkan 20 ke dalam rumus suku ke-n yang sudah didapatkan; dengan cara;U20 = 4. 20 -1U20 = 80 – 1U20 = 79Perlu diingat bahwa n adalah bilangan asli, tidak mungkin nol dan itu, kesalahan menghitung juga biasanya banyak dijumpai dalam pengerjaan soal barisan aritmatika yang kesalahannya adalah sebagai berikut;Un = a + n – 1 bU20 = 3 + 20 – 1. 4U20 = 3 + 19. 4Sampai di proses ini kadang banyak siswa yang menjumlahkan dulu. Padahal seharusnya perkalian harus didahulukan dibanding dengan penjumlahan. Kecuali jika ada 3 – mencari suku pertama dari Un yang sudah diketahuiDiketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalahUn = 2n + 1Tentukan beda dan suku pertamanya!PenyelesaianDiketahui Un = 2n + 1, makaUn-1 = 2 n – 1 + 1Un-1 = 2n – 2 + 1Un-1 = 2n – 1Kemudian, ingat bahwa rumus beda adalahb = Un – Un-1b = 2n + 1 – 2n – 1b = 2n – 2n + 1 + 1b = 2Selanjutnya, cari suku pertamanya dengan memasukkan n = 1;Un = 2n + 1U1 = + 1U1 = 2 + 1U1 = 3Jadi, suku pertama dan beda dari barisan aritmatikanya adalah 3 dan aritmatika tersebut dapat ditulis sebagai berikut;3, 5, 7, 9, 11, …., 2n + 1Contoh 4 – suku tengahDiketahui sebuah barisan aritmatika adalah sebagai berikut;6, 10, 14, …, 46Tentukan suku tengah dan suku ke berapakah suku tengah tersebut!PembahasanDiketahui a = 6, b = 4, Un = 46, makaUt = a + Un / 2Ut = 6 + 46 / 2Ut = 52/2 = 26Kemudian, untuk mencari t, teman-teman bisa pakai rumus suku ke-n atau = a + n – 1 b, karena n = t maka Ut = a + t – 1 bUt = 6 + t – 1 4Ut = 6 + 4t – 426 = 4t + 24t = 26 – 24t = 24t = 24/4 = 6Atau teman-teman juga bisa pakai cara di bawah iniUn = a + n – 1 b46 = 6 + n – 1.446 = 6 + 4n – 44n = 46 – 24n = 44n = 11Kemudian masukkan dalam rumust = n + 1 / 2t = 11 + 1 / 2t = 12/2 = 6Hasilnya sama, bukan?Tips dan trik barisan aritmatika Ketika teman-teman diminta untuk mencari rumus suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika. Langkah atau caranya adalahCarilah terlebih dahulu suku pertama dan angka dalam rumus suku ke-nKetika Anda diminta mencari suku ke-20, maka gantikan angka 20 pada bilangan n dari rumus yang Anda dapatkan tadi. Gantikan dengan bilangan lain sesuai dengan nilai n dalam jika teman-teman diminta untuk mencari nilai beda dan suku pertama dari sebuah rumus suku ke-n barisan aritmatika, maka langkahnya adalahCari rumus Un-1Kemudian masukkan ke rumus beda seperti biasaUntuk mencari suku pertama atau U1 bisa langsung dimasukkan dalam rumus suku ke-n yang diketahui dengan nilai n diganti jika teman-teman diminta untuk mencari nilai suku tengah dan nilai t, maka langkahnya adalahPakailah rumus Ut untuk menentukan suku untuk mencari t, teman-teman bisa mencari nilai n, kemudian dimasukkan dalam rumus t = n + 1 /2Lihat contoh di atas agar lebih jelas2. Deret aritmatikaDeret identik dengan penjumlahan, sementara aritmetika identik dengan beda. Demikian saya memahami deret aritmatika agar tidak tertukar dengan barisan aritmatika atau deret Hinda akan membahas tentang materi deret aritmatika ini secara bertahap. Selamat umum dan rumusSudah kakak jelaskan di awal bahwa deret identik dengan penjumlahan, sedangkan artimatika identik dengan dalam deret aritmatika ini hampir sama dengan barisan aritmatika, yaituBedaSuku pertama U1 = aSuku ke-nNamun karena ini penjumlahan, maka ada komponen lain, yakni mari kita kenali dulu bentuk umum dari deret aritmatikaBentuk umumU1 + U2 + U3 + … + Una + a + b + a + 2b + … + [a + n – 1 b]Dalam deret aritmatika kita juga mengenal Sn, yakni jumlah n suku pertama deret Sn adalahSn = n/2 a + UnSn = n/2 [2a + n – 1 b]DenganUn adalah rumus suku adalah jumlah n suku pertama dari deret adalah nilai dari beda atau adalah U1 atau suku pertama dalam barisan kalian lupa rumus a, b, dan Un bisa langsung lihat di ulasan barisan aritmatika sebelumnya ya?Rumusnya rumus SnSn = U1 + U2 + U3 + … + UnSn = a + a + b + a + 2b + … + [a + n – 1 b]Sn = a + a + b + a + 2b + … + UnSn = Un + Un – b + Un – 2b + … + a dibalik dari Un – sifat komutatifKemudian,Sn + Sn = [a + a + b + a + 2b + … + Un] + [Un + Un – b + Un – 2b + … + a]2Sn = a + Un + a + Un + … + a + Un —-> sebanyak n kali2Sn = n a + UnSn = [n a + Un ] / 2Sn = n/2 a + UnSn = n/2 {a + [a + n – 1 b] }Sn = n/2 [2a + n – 1 b]Contoh dan pembahasanBerikut adalah contoh soal dan jawaban deret aritmatikaContoh 1Diketahui sebuah deret aritmatika; 5 + 7 + 9 + 11 +…Tentukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertamanya!PembahasanDiketahui a = 5, b = 2Un = a + n – 1bUn = 5 + n – 1 2Un = 5 + 2n – 2Un = 2n + 3Rumus jumlah n suku pertamanya adalahSn = [n a + Un ] / 2Sn = n 5 + 2n + 3 / 2Sn = 5n + 2n2 + 3n/2Sn = 2n2 + 8n /2Sn = n2 + 4nContoh 2Berikut adalah contoh kedua dalam materi deret aritmatika untuk mempermudah Anda dalam memahami materi iniDiketahui sebuah deret aritmatika4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +… ,Tentukan suku ke- 10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut!PembahasanDiketahui, a = 4, b = 1. MakaSuku ke- 10 adalahUn = a + n – 1 bU10 = 4 + 10 – 1 .1U10 = 4 + = 13Jumlah 10 suku pertama adalahSn = n/2 a + UnS10 = 10/2 4 + 13S10 = 5 . 17S10 = 85Jadi, suku ke 10 deret tersebut adalah 13 dan jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut adalah dan trik deret aritmatika Ketika teman-teman diminta untuk mencari rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika, begini langkahnyaCek nilai a dan bMasukkan dalam rumus suku ke-nCari jumlah n suku pertama deret teman-teman diminta untuk mencari suku ke-n dan n suku pertama deret aritmatika, maka langkahnyaCek nilai a dan bMasukkan nilai n yang diminta ke dalam rumus suku ke-n. Misal n = 10, menjadi U10Masukkan nilai n yang diminta di soal ke dalam rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika. Misal n = 10, maka carilah S10Agar jelas, silakan lihat soal dan kuis deret aritmatikaAnda bisa mencoba mengerjakan deret berikut ini untuk mengasah kemampuan Anda;6 + 10 + 14 + 18 + 22 + …Silakan cari nilaiSuku pertamaBedaSuku ke-7Jumlah 7 suku pertama deret aritmatikaSuku ke-nJumlah n suku pertamanyaItulah materi deret aritmatika yang dapat kami sampaikan. Selanjutnya, kak Hinda akan mengajak teman-teman untuk membahas barisan dan deret geometri. Tapi jangan lupa baca juga Cara Menjumlahkan Deret Bilangan Berurut Tanpa Rumus Dengan Barisan geometriSebagaimana kak Hinda sebutkan di awal, barisan identik dengan koma, sedangkan geometri identik dengan rasio pembagi.Jadi, pembahasan kita nanti merupakan penjabaran dari materi barisan geometri yang sebenarnya sangat memahami materi ini, teman-teman harus paham dulu barisan aritmatika. Kenapa?Barisan aritmatika terbilang lebih sederhana karena berhubungan dengan operasi hitung dalam barisan geometri sedikit lebih rumit karena menggunakan operasi hitung pembagian dan bahkan dari itu, materi ini biasanya disampaikan di tingkat sekolah menengah atas SMA, MA Madrasah Aliyah, dan SMK Sekolah Menengah Kejuruan begitu, materi dasar barisan geometri ini kadang disinggung di bangku SMP. Hanya bagian dasarnya saja. Untuk SMA sederajat sudah materi yang lebih rumit Hinda akan membuat pembahasannya mudah dengan cara membaginya dalam beberapa poin. Yakni bentuk umum, rumus, penjelasan ringkas, dan contoh umum dan rumusPengertian barisan geometri adalah sebuah barisan bilangan yang memiliki rasio atau hasil bagi tetap antara dua suku barisan yang tempatnya berurutan. Misal suku kedua dengan pertama, suku ketiga dengan kedua, dan identik dengan rasio, dilambangkan dengan r. Barisan selalu pakai koma. Jadi, komponen dalam barisan geometri yang perlu diketahui adalahSuku pertama a = U1Rasio pembagi dilambangkan dengan rSuku ke-n UnDengan kata lain, dalam barisan geometri kita tidak mengenal beda b. Yang kita kenal adalah rasio r.Bentuk umum barisan geometria, ar, ar2, ar3, …, arn-1U1, U2, U3, U4, …UnDengan ulasan bentuk umum di atas, kita dapatkanRumus suku ke-n barisan geometriUn = arn-1 KeteranganUn adalah suku ke-na adalah suku pertama atau ditulis dengan U1r adalah rasio atau pembagiDari rumus Un di atas, kita bisa mendapatkanRumus rasio barisan geometrir = Un / Un-1 Berikut adalah penjabarannyar = U2 / U1r = U3 / U2r = U4 / U3….r = Un / Un-1dan soal dan pembahasanBerikut adalah beberapa contoh soal yang sengaja kak Hinda tulis secara bertahap tingkat kesulitannya agar teman-teman bisa mudah 1Diketahui sebuah barisan bilangan berikut2, 4, 8, 16, 32, …Tentukan rasio dan suku ke-n barisan tersebut!PembahasanDari barisan tersebut, informasi yang kita dapat adalaha = 2U2 = 4Artinyar = U2 / U1r = 4/2 = 2Selanjutnya, suku ke-n atau Un adalahUn = arn-1Un = 2 . 2n-1Un = 2 . 2n/2 ——–> Konsep eksponensialUn = 2nContoh 2Jika diketahui, Un = 3n ,Sebutkan 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut dan tentukan rasio serta suku pertamanya!JawabanDiketahui Un = 3nJadi, untuk mencari 5 suku pertama dari barisan, kita tinggal memasukkan ke dalam rumus suku ke-n yang diketahui = a = 31 = 3U2 = 32 = 9U3 = 33 = 27U4 = 34 = 81U5 = 35 = 243Lima suku pertama dalam barisan geometri ini adalah 3, 9, 27, 81, 243Rasio r = U2/U1r = 9/3r = 3Atau teman-teman bisa mencari rasio dengan cara berikut ini;r = Un/Un-1r = 3n / 3n-1r = 3n 3n/3 ———–> Konsep eksponensialr = 3n x 3/3nr = 3Perbedaan barisan geometri dengan barisan aritmatikaPerbedaan antara barisan geometri dengan barisan aritmatika adalah pada pembedanya. Jika di barisan aritmatika ada beda selisih, di barisan geometri ada rasio hasil bagi. Inilah kata contohnya;6, 12, 18, 24, … —–> Barisan aritmatika4, 20, 100, 500, … ——> Barisan geometriBagaimana? Mudah, bukan?Latihan soal barisan geometriJika Un = suku pertama, suku ke-12, dan rasionya!Silakan menyelesaikan soal di atas dengan panduan materi barisan geometri di atas. Lakukan secara rutin agar dan trik barisan geometri Kak Hinda akan memberikan tips dan trik untuk mengerjakan latihan soal di atas. Berikut langkahnyaUntuk mencari suku pertama jika rumus suku ke-n barisan geometri sudah diketahui adalah tinggal mengganti n dengan bilangan juga dengan mencari nilai suku kedua belas, tinggal mengganti n dengan bilangan mencari rasio, yang diperlukan adalah dua suku yang berurutan. Jadi, kalau sudah ada U1, kita tinggal mencari U2. Kemudian dicari hasil tambahan, untuk mengerjakan barisan geometri ini akan sangat mudah jika teman-teman paham materi eksponensial. Jadi, buka kembali bukunya di materi eksponensial ya?4. Deret geometriMateri deret geometri merupakan keberlanjutan dari materi barisan geometri. Ada yang menyebut deret geometri sebagai deret mendasar barisan geometri dengan deret geometri adalah tanda penjumlahan. Dalam deret, kita akan diajak untuk menemukan hasil dari penjumlahan umum dan rumusSimpelnya, komponen pembentuk deret geometri ini sama dengan barisan geometri, yaituSuku pertama aRasio r – hasil bagiSuku ke-n UnSn jumlah n suku pertamaBentuk umum deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1U1 + U2 + U3 + U4 + … + UnUntuk rumus-rumus a, r, dan Un, sama dengan rumus pada barisan geometri. Untuk di deret, kita mengenal = U1 + U2 + U3 + U4 + … + UnRumus jumlah n suku pertama deret geometri Sn = a rn – 1 / r – 1 , untuk r > 1Sn = a 1 – rn / 1 – r, untuk r 1, maka digunakan rumusSn = a rn – 1 / r – 1S6 = 3 . 36 – 1 / 3 – 1S6 = 3. 729 – 1 / 2S6 = 3. 728 / 2S6 = 2184 / 2 = 1092Untuk mengetahui rumus Sn, gunakan caraSn = a rn – 1 / r – 1Sn = 3 3n – 1 / 3 – 1Sn = 3 3n – 1 / 2Sn = 3n+1 – 3 /2Latihan soal deret GeometriBerikut adalah soal yang bisa coba Anda kerjakan. Sesuaikan soal di bawah ini dengan informasi di + 2 + 4 + 8 + …5 + 25 + 125 + …64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + ½ + ….Tips dan trik deret geometri Berikut adalah beberapa tips dan trik mengerjakan soal deret geometri berkaca dari pengalaman agar tidak banyak kekeliruanKetahui dulu berapa r tahu rasionya, pastikan gunakan rumus yang utama rumusnya terletak pada bagian penyebut yang biasanya tidak boleh negatif. Kalau r lebih besar dari 1, maka r-1. Kalau r kurang dari 1, maka 1 – r. Silakan dilihat lupa menentukan nilai suku betul materi eksponensial atau perpangkatan akan sangat berlatih Geometri Tak HinggaBentuk umum deret geometri tak hingga adalaha + ar + ar2 + ar3 +…Keterangana adalah suku pertama, U1r adalah rasioDeret geometri tak hingga terbagi menjadi dua, yakni konvergen dan divergen. Berikut adalah penjelasannyaDeret geometri tak hingga konvergenAdalah sebuah deret yang memusat atau menuju ke satu titik tertentu konvergen. Kekonvergenan deret geometri tak hingga bisa dilihat dari geometri tak hingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika harga mutlak r kurang dari 1. Atau ditulisKonvergen r r ≥ 1Ketika deret geometri tak hingga itu divergen, maka dia tidak memiliki r = 1, maka deret geometri tak hingganya r > 1, maka suku-suku dalam deret geometri tak hingganya cenderung membesar dan perbedaan konvergen dan divergen melalui contohBayangkan jika teman-teman diminta menghitung jumlah bilangan yang semakin membesar atau semakin mengecil ini ya?6 + 36 + 216 + … contoh deret geometri tak hingga divergen6 + 2 + 2/3 + 2/9 + … contoh deret geometri tak hingga konvergenDeret geometri tak hingga yang memiliki jumlah adalah yang deret geometri tak hinggaS∞ = a / 1 – rDengan syarat -1 memenuhi syarat konvergen karena 1Sn = a 1 – rn / 1 – r, untuk r ingat suku tengahU3 = 8 + 14 / 2U3 = 22 /2 = 11Kemudian, kita cari = U3 – U2b = 11 – 8 = 3Karena b = 3, maka a = 8 – 3 = 5Jadi, barisannya adalah5, 8, 11, 14, …, 23Selanjutnya, kita akan mencari n dengan rumus;Un = a + n-1 b23 = 5 + n-1 323 = 5 + 3n – 323 = 2 + 3n pindah ruas3n = 23 – 23n = 21n = 7Dari sini, dapat diketahui bahwa banyaknya suku dalam barisan tersebut adalah 7 dan 23 adalah nilai dari suku ke-7 dari barisan soal 2 – Barisan aritmetika SMPB SNMPTNContoh berikut merupakan jenis soal yang sering muncul di SMPB, SNAMPTN, SBMPTN, USM, Ujian Masuk, UMPTN, SNMPTN, atau saringan masuk perguruan tinggi negeri dan berikut adalah soal barisan aritmetika yang sebenarnya sederhana. Terlihat rumit karena angkanya yang cenderung bilangan-bilangan bulat antara 250 dan yang habis dibagi 7 adalah… pilih salah satu jawabanA. / pembahasanBilangan bulat pertama yang habis dibagi 7 setelah 250 adalah 252, yakni menghasilkan angka angka terakhirnya sebelum 1000 adalah 994, yakni menghasilkan angka barisan aritmetikanya adalah;252, 259, 266, …., 994Jadi, a = 252Sedangkan suku ke-n adalah 994, makaUn = a + n – 1 bUn = 252 + n – 1 7994 = 252 + 7n – 77n = 994 – 252 +77n = 749n = 749/7n = 107Kemudian,Sn = ½ n a + Un ,MakaSn = ½ . 107 252 + 994Sn = 53,5 . 1246Sn = demikian, jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan adalah Jawaban BContoh soal 3Soal di bawah ini juga advanced dan biasa muncul di ujian saringan masuk perguruan tinggi;Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un = 3n – rumus jumlah n suku pertama deret tersebut;PembahasanDiketahui Un = 3n – 5, makaa = U1a = 3 . 1 – 5a = – 2Sehingga rumus jumlah n suku pertama,Sn = ½ n a + UnSn = ½ n -2 + 3n – 5Sn = ½ n -2 + 3n – 5Sn = ½ n 3n – 7Sn = n/2 3n -7Soal ini lebih sederhana tapi sering sekali muncul di SPMB. Saat mengerjakan soal jenis ini lihat pilihan gandanya teman-teman bisa menyelesaikan sesuai dengan yang diinginkan soal di pilihan gandanya. Apakah harus diselesaikan sampai bentuk n2 atau informasi tentang materi barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri, contoh soal dan pembahasannya. Semoga informasi dari kak Hinda ini bermanfaat ya?Bacalah artikel ini sesuai dengan materi yang sedang teman-teman tempuh di sekolah ya? Agar tidak lupa share jika bermanfaat. Selamat – – Apa itu n dalam aritmatika? n adalah nilai yang menunjukkan banyaknya suku barisan deret aritmatika. n memiliki nilai berupa bilangan real seperti 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Nilai n sama dengan 1 menunjukkan suku pertama deret aritmatika. Nilai n bisa ditentukan melalui rumus umum suku ke-n deret aritmatika jika nilai suku ke-n, beda, dan juga suku pertama diketahui. Un = a + n-1 bUn suku ke n n = 1, 2, 3, … a suku pertama U1n bilangan real n – 1, 2, 3, … b beda deret aritmatika Untuk lebih memahami tentang nilai n, berikut contoh soal menentukan nilai n pada deret aritmatika beserta pembahasannya! Baca juga Rumus Jumlah Suku ke-n Barisan Aritmatika Contoh soal Suku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah dan suku ke-10 adalah Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah … JawabanU6 = = = 0 Dilansir dari Math is Fun, deret aritmatika adalah barisan angka dengan beda antara satu suku dan suku berikutnya adalah sama. Sehingga, untuk menjawab soal tersebut terlebih dahulu kita harus mencari beda deret tersebut menggunakan rumus umum suku ke-n. Mencari beda deret aritmatika U6 = a + 6-1 b = a + 5b = … persamaan 1U10 = a + 10-1 b = a + 9b = … persamaan 2 Baca juga Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika Eliminasi kedua persamaan tersebut untuk menghilangkan nilai a dan mendapatkan nilai b a + 5b = + 9b =

cara mencari suku ke 20